Bài tập 16, § 8

Cho $(T_n)$ là một dãy vô hạn các không gian compact, $\mu_n$ là một độ đo dương trên $T_n$ có khối lượng toàn phần bằng 1, và $\mu$ là độ đo tích $\bigotimes_{n=1}^\infty \mu_n$ trên $T = \prod_{n=1}^\infty T_n$.

a) Cho f là một hàm $\geqslant 0$, khả tích theo $\mu$ trên T. Cho $(L_n)$ là một dãy tăng các tập hợp con của $\mathbf{N}$, và, đặt $M_n = \mathbf{N} - L_n$, cho $g = \sup_n f_{L_n}$, $h = \sup_n f_{M_n}$ (các ký hiệu của Bài tập 15). Với mọi $\alpha > 0$, cho $A_\alpha$ là tập hợp các điểm $t \in T$ tại đó $g(t) > \alpha$, và $B_\alpha$ là tập hợp các điểm $t \in T$ tại đó $h(t) > \alpha$. Chứng minh rằng $\alpha \cdot \mu(A_\alpha) \leqslant \int f d\mu$ và $\alpha \cdot \mu(B_\alpha) \leqslant \int f d\mu$. (Nhận xét rằng $A_\alpha$ là tập hợp các $t \in T$ tại đó ít nhất một trong các $f_{L_n}(t)$ là $> \alpha$, và biểu diễn nó thành một hợp đếm được của các tập hợp $G_n$, từng đôi một rời nhau và sao cho $\alpha \cdot \mu(G_n) \leqslant \int_{G_n} f d\mu$.)

b) Giả sử rằng $(L_n)$ là một dãy tăng các tập hợp con hữu hạn của $\mathbf{N}$, có hợp là $\mathbf{N}$. Chứng minh rằng $f_{L_n}$ hội tụ hầu khắp nơi đến f, và rằng $f_{M_n}$ hội tụ hầu khắp nơi trong T đến hằng $\int f d\mu$. (Với mọi $\varepsilon > 0$, xét một hàm liên tục g chỉ phụ thuộc vào một số hữu hạn biến và sao cho $\int |f - g| d\mu \leqslant \varepsilon$, và áp dụng a) cho hàm $|f - g|$.)