Exercice 17, § 8

Soit $(T_i)_{i \in I}$ une famille quelconque d’espaces compacts ; pour chaque $i \in I$, soit $\mu_i$ une mesure positive sur $T_i$, de masse totale égale à 1, et soit $\mu$ la mesure produit $\bigotimes_{i \in I} \mu_i$ sur $T = \prod_{i \in I} T_i$. Pour tout $i \in I$, soit $f_i$ une fonction $\geqslant 0$, définie dans $T_i$, $\mu_i$-intégrable et telle que $\int f_i\,d\mu_i \leqslant 1$; on pose $\mu'_i = f_i . \mu_i$, et $\mu' = \bigotimes_{i \in I} \mu'_i$ (chap. III, 2e éd., § 4, exerc. 6). On suppose $\mu' \neq 0$.

a) Pour toute partie finie J de I, on pose $T_J = \prod_{i \in J} T_i$, $\mu_J = \bigotimes_{i \in J} \mu_i$,

et $\rho(\mu_J, \mu'_J) = \mu''_J(T_J) = \int g_J\,d\mu_J$. Montrer que, pour que les fonctions $g_J$ convergent en moyenne quadratique vers une fonction de $\mathscr{L}^2(T, \mu)$, suivant l’ensemble ordonné filtrant des parties finies de I, il faut et il suffit que le produit des nombres $\rho(\mu_i, \mu'_i)$ soit convergent dans $\mathbf{R}_+^*$, c’est-à-dire $> 0$. (Pour deux parties finies J, L telles que $J \subset L$, évaluer la norme $N_2(g_J - g_L)$ au moyen des $\rho(\mu_i, \mu'_i)$). En déduire que les fonctions $f_J$ convergent alors en moyenne vers une fonction $f \geqslant 0$ telle que $\mu' = f . \mu$.

b) Montrer que, si le produit $\prod_{i \in I} \rho(\mu_i, \mu'_i)$ est nul, les mesures $\mu$ et $\mu'$ sont étrangères (considérer l’ensemble $A_j$ des points $t \in T$ tels que $g_j(t) > 1$, et évaluer les mesures $\mu(A_j)$ et $\mu'(T - A_j)$).