Bài tập 17, § 8

Cho $(T_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ bất kỳ các không gian compact; với mỗi $\iota \in I$, cho $\mu_\iota$ là một độ đo dương trên $T_\iota$, có khối lượng toàn phần bằng 1, và cho $\mu$ là độ đo tích $\bigotimes_{\iota \in I} \mu_\iota$ trên $T = \prod_{\iota \in I} T_\iota$. Với mỗi $\iota \in I$, cho $f_\iota$ là một hàm $\geqslant 0$ xác định trên $T_\iota$, khả tích theo $\mu_\iota$ và sao cho $\int f_\iota d\mu_\iota \leqslant 1$; đặt $\mu'_\iota = f_\iota \cdot \mu_\iota$ và $\mu' = \bigotimes_{\iota \in I} \mu'_\iota$ (Ch. III, §4, Bài tập 6). Giả sử rằng $\mu' \neq 0$.

a) Với mọi tập con hữu hạn J của I, đặt $T_J = \prod_{\iota \in J} T_\iota$, $\mu_J = \bigotimes_{\iota \in J} \mu_\iota$, $\mu'_J = \bigotimes_{\iota \in J} \mu'_\iota$, $f_J(t) = \prod_{\iota \in J} f_\iota(\mathrm{pr}_\iota t)$, $g_J = \sqrt{f_J}$, $\mu''_J = \sqrt{\mu_J \mu'_J}$ (§ 5, No. 9) và $\rho(\mu_J, \mu'_J) = \mu''_J(T_J) = \int g_J d\mu_J$. Chứng minh rằng, để các hàm $g_J$ hội tụ theo trung bình bậc hai đến một hàm trong $\mathscr{L}^2(T, \mu)$, đối với tập có thứ tự có hướng của các tập con hữu hạn của I, điều kiện cần và đủ là tích các số $\rho(\mu_\iota, \mu'_\iota)$ hội tụ trong $\mathbf{R}_+^*$, nghĩa là $> 0$. (Đối với hai tập con hữu hạn $J, L$ sao cho $J \subset L$, hãy tính chuẩn $N_2(g_J - g_L)$ bằng các $\rho(\mu_\iota, \mu'_\iota)$.) Suy ra từ đó rằng các hàm $f_J$ khi đó hội tụ theo trung bình đến một hàm $f \geq 0$ sao cho $\mu' = f \cdot \mu$.

b) Chứng minh rằng nếu tích $\prod_{\iota \in I} \rho(\mu_\iota, \mu'_\iota)$ bằng không, thì các độ đo $\mu$ và $\mu'$ là xa lạ (xét tập $A_J$ gồm các điểm $t \in T$ sao cho $g_J(t) > 1$, và tính các độ đo $\mu(A_J)$ và $\mu'(T - A_J)$).