Exercice 19, § 8

Soient X un espace localement compact, Y un espace localement compact dénombrable à l’infini, A une partie universellement mesurable de $X \times Y$.

a) Pour tout $x \in X$, montrer que la coupe $A(x)$ est une partie universellement mesurable de Y. En outre, pour toute mesure positive $\mu$ sur Y, la fonction $x \mapsto \mu^*(A(x))$ est universellement mesurable dans X (utiliser le th. de Lebesgue–Fubini).

b) Soit $\mu$ une mesure positive sur Y, telle que, pour presque tout $y \in Y$ (pour $\mu$), la coupe $\bar{A}^1(y)$ de A soit dénombrable. Montrer que l’ensemble N des $x \in X$ tels que $\mu^*(A(x)) > 0$ ne peut contenir aucun ensemble compact dénombrable.