Bài tập 19, § 8

Cho $X$ là một không gian compact địa phương, $Y$ là một không gian compact địa phương đếm được tại vô hạn, $A$ là một tập con đo được phổ quát của $X \times Y$.

a) Với mọi $x \in X$, hãy chứng minh rằng tiết diện $A(x)$ là một tập con đo được phổ quát của $Y$. Ngoài ra, với mọi độ đo dương $\mu$ trên $Y$, hàm $x \mapsto \mu^*(A(x))$ là đo được phổ quát trên $X$ (sử dụng định lý Lebesgue–Fubini).

b) Cho $\mu$ là một độ đo dương trên $Y$ sao cho, với hầu hết mọi $y \in Y$ (đối với $\mu$), tiết diện $A(y)$ của $A$ là đếm được. Chứng minh rằng tập hợp $N$ gồm các $x \in X$ sao cho $\mu^*(A(x)) > 0$ không thể chứa bất kỳ tập compact đếm được nào.