Exercice 4, § 8

a) Soient T, T' deux espaces localement compacts dénombrables à l’infini, $\mu$ une mesure positive sur T, $\mu'$ une mesure positive sur T'. Montrer que pour toute application $(\mu \otimes \mu')$-mesurable f de $T \times T'$ dans $\mathbf{R}$, la fonction $F : t \mapsto \int^* |f(t, t')| \, d\mu'(t')$ est $\mu$-mesurable (considérer T' comme réunion d’une suite croissante d’ensembles compacts).

b) On suppose en outre que, pour presque tout $t \in T$ (pour $\mu$) la fonction $f(t, .)$ est $\mu'$-intégrable et que pour presque tout $t' \in T'$ (pour $\mu'$) la fonction $f(. , t')$ est $\mu$-intégrable; enfin, on suppose que la fonction (définie presque partout pour $\mu$) $t \mapsto \int f(t, t')\ d\mu'(t')$ est $\mu$-intégrable. Montrer alors que la fonction (définie presque partout pour $\mu'$) $t' \mapsto \int f(t, t')\ d\mu(t)$ est $\mu'$-intégrable et que l’on a

(En vertu de a), il y a une partition de $T$ formée d’un ensemble $\mu$-négligeable $N$ et d’une suite $(K_n)$ d’ensembles compacts telle que chacune des fonctions $f \varphi_{K_n \times T'}$ soit $(\mu \otimes \mu')$-intégrable. Poser et appliquer l’exerc. 20 du § 5).

c) Soient $T$ l’intervalle $\{0, 1\}$ de $\mathbf{R}$, $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $T$. Pour tout entier $n > 0$, soit $A'_n = \left[ \frac{1}{2^n}, \frac{3}{2^{n+1}} \right]$, $A''_n = \left[ \frac{3}{2^{n+1}}, \frac{1}{2^n-1} \right]$, et, dans l’espace produit $T \times T$, soient $B'_n = A'_n \times A'_n$, $B''_n = A''_n \times A''_n$, $C'_n = A'_n \times A''_n$, $C''_n = A''_n \times A'_n$. On pose $f(t, t') = 4^{n+1}$ dans $B'_n$ et $B''_n$, $f(t, t') = -4^{n+1}$ dans $C'_n$ et $C''_n$, pour tout entier $n > 0$, et $f(t, t') = 0$ aux autres points de $T \times T$. Montrer que les deux intégrales $\int d\mu(t') \int f(t, t')\ d\mu(t)$ et $\int d\mu(t) \int f(t, t')\ d\mu(t')$ sont définies et égales, mais que la fonction $f$ n’est pas intégrable pour la mesure $\mu \otimes \mu$.