Bài tập 4, § 8

a) Cho T, T' là hai không gian compact địa phương đếm được tại vô hạn, $\mu$ là một độ đo dương trên T, $\mu'$ là một độ đo dương trên T'. Chứng minh rằng đối với mọi ánh xạ đo được đối với $(\mu \otimes \mu')$ $f$ của $T \times T'$ vào $\mathbf{R}$, hàm $F : t \mapsto \int^* |f(t,t')| d\mu'(t')$ là $\mu$-đo được (coi T' là hợp của một dãy tăng các tập compact).

b) Hơn nữa, giả sử rằng với hầu hết mọi $t \in T$ (đối với $\mu$), hàm $f(t,\cdot)$ là $\mu'$-khả tích và với hầu hết mọi $t' \in T'$ (đối với $\mu'$), hàm $f(\cdot,t')$ là $\mu$-khả tích; cuối cùng, giả sử rằng hàm (được xác định hầu khắp nơi đối với $\mu$) $t \mapsto \int f(t, t')\ d\mu'(t')$ là $\mu$-khả tích. Chứng minh rằng hàm (được xác định hầu khắp nơi đối với $\mu'$) $t' \mapsto \int f(t, t')\ d\mu(t)$ khi đó là $\mu'$-khả tích và

(Theo a), có một phân hoạch của T tạo bởi một tập hợp $\mu$-không đáng kể N và một dãy $(K_n)$ các tập compact sao cho mỗi hàm $f \varphi_{K_n \times T'}$ là $(\mu \otimes \mu')$-khả tích. Đặt

và áp dụng Bài tập 20 của §5.)

c) Cho T là khoảng $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$, $\mu$ là độ đo Lebesgue trên T. Với mọi số nguyên $n > 0$, đặt $A'_n = \left[ \frac{1}{2n}, \frac{3}{2n+1} \right]$, $A''_n = \left[ \frac{3}{2n+1}, \frac{1}{2n-1} \right]$, và, trong không gian tích $T \times T$, đặt $B'_n = A'_n \times A'_n$, $B''_n = A''_n \times A''_n$, $C'_n = A'_n \times A''_n$, $C''_n = A''_n \times A'_n$. Đặt $f(t, t') = 4^{n+1}$ trong $B'_n$ và $B''_n$, $f(t, t') = -4^{n+1}$ trong $C'_n$ và $C''_n$, với mọi số nguyên $n > 0$, và $f(t, t') = 0$ tại các điểm khác của $T \times T$. Chứng minh rằng hai tích phân $\int d\mu(t') \int f(t, t')\ d\mu(t)$ và $\int d\mu(t) \int f(t, t')\ d\mu(t')$ được xác định và bằng nhau, nhưng hàm $f$ không khả tích đối với độ đo $\mu \otimes \mu$.