Exercice 6, § 8

a) Soient $T$ un espace localement compact, $\nu$ une mesure positive sur $T$, $I$ un intervalle de $\mathbf{R}$, $\mu$ une mesure positive sur $I$. Soit $A$ une partie du produit $I \times T$, telle que : 1° pour tout $x \in I$, la coupe $A(x) \subset T$ de $A$ suivant $x$ soit $\nu$-mesurable ; 2° la relation $x \leq y$ entraîne $A(x) \subset A(y)$. Montrer que $A$ est $(\mu \otimes \nu)$-mesurable. (Se ramener au cas où $I$ et $T$ sont compacts et où $\mu$ est diffuse ; considérer une suite croissante $(x_i)_{0 \leq i \leq n}$ de points de $I$, $x_0$ et $x_n$ étant les extrémités de $I$, telle que $\mu([x_i, x_{i+1}]) \leq \varepsilon$ pour $0 \leq i \leq n-1$, et former deux parties $B, C$ de $I \times T$, mesurables pour $\lambda = \mu \otimes \nu$ et telles que $B \subset A \subset C$ et $\lambda(C - B) \leq \varepsilon \nu(T)$).

b) Déduire de a) que, si $f$ est une fonction numérique définie dans $I \times T$, telle que : 1° pour chaque $x \in I$, $t \mapsto f(x, t)$ soit $\nu$-mesurable ; 2° pour chaque $t \in T$, $x \mapsto f(x, t)$ soit croissante, alors $f$ est $(\mu \otimes \nu)$-mesurable.

c) Soit $g$ une fonction numérique définie dans $I \times T$, telle que: $1^\circ$ pour chaque $x \in I, t \mapsto g(x, t)$ soit $\nu$-mesurable; $2^\circ$ pour chaque $t \in T, x \mapsto g(x, t)$ soit monotone. Déduire de b) que $g$ est $(\mu \otimes \nu)$-mesurable. (Soit $T_1 \subset T$ l’ensemble des $t \in T$ tels que l’application $x \mapsto g(x, t)$ soit croissante; montrer que $T_1$ est $\nu$-mesurable. Pour cela, pour tout couple $(r_1, r_2)$ de nombres rationnels appartenant à $I$ et tels que $r_1 \leq r_2$, considérer l’ensemble $D_{r_1, r_2}$ des points $t \in T$ tels que $g(r_1, t) \leq g(r_2, t)$ et exprimer $T_1$ comme intersection d’ensembles $D_{r_1, r_2}$.