Bài tập 6, § 8

a) Cho T là một không gian compact địa phương, $\nu$ là một độ đo dương trên T, I là một khoảng của $\mathbf{R}$, $\mu$ là một độ đo dương trên I. Cho A là một tập con của tích $I \times T$, sao cho: 1° với mọi $x \in I$, tiết diện $A(x) \subset T$ của A tại x là $\nu$-đo được; 2° quan hệ $x \leq y$ kéo theo $A(x) \subset A(y)$. Chứng minh rằng A là $(\mu \otimes \nu)$-đo được. (Rút gọn về trường hợp I và T compact và $\mu$ là khuếch tán; xét một dãy tăng $(x_i)_{0 \leq i \leq n}$ các điểm của I, $x_0$ và $x_n$ là các đầu mút của I, sao cho $\mu([x_i, x_{i+1}]) \leq \varepsilon$ với $0 \leq i \leq n-1$, và lập hai tập con B, C của $I \times T$, đo được đối với $\lambda = \mu \otimes \nu$ và sao cho $B \subset A \subset C$ và $\lambda(C - B) \leq \varepsilon \nu(t)$.)

b) Suy ra từ a) rằng nếu $f$ là một hàm số được xác định trên $I \times T$, sao cho: 1° với mỗi $x \in I$, $t \mapsto f(x, t)$ là $\nu$-đo được, và 2° với mỗi $t \in T$, $x \mapsto f(x, t)$ là tăng, thì $f$ là $(\mu \otimes \nu)$-đo được.

c) Cho $g$ là một hàm số được xác định trên $I \times T$, sao cho: 1° với mỗi $x \in I$, $t \mapsto g(x, t)$ là $\nu$-đo được; 2° với mỗi $t \in T$, $x \mapsto g(x, t)$ là đơn điệu. Suy ra từ b) rằng $g$ là $(\mu \otimes \nu)$-đo được. (Cho $T_1 \subset T$ là tập hợp các $t \in T$ sao cho ánh xạ $x \mapsto g(x, t)$ là tăng; chứng minh rằng $T_1$ là $\nu$-đo được. Để làm điều đó, với mỗi cặp $(r_1, r_2)$ các số hữu tỉ thuộc I sao cho $r_1 \leq r_2$, xét tập hợp $D_{r_1, r_2}$ các điểm $t \in T$ sao cho $g(r_1, t) \leq g(r_2, t)$ và biểu diễn $T_1$ như giao của các tập hợp $D_{r_1, r_2}$.)