Exercice 9, § 1

Soient G, H deux espaces localement convexes séparés, U une application de T dans $F = \mathscr{L}_s(G; H)$. On suppose que G est tonnelé, H quasi-complet, U $\mu$-mesurable et $U(K)$ borné pour toute partie compacte K de T ; en outre, on suppose que pour toute semi-norme q continue sur H et tout $x \in G$, on ait $\int_{\ast}^{*} q(U(t) \cdot x) d\mu(t) < + \infty$. Dans ces conditions, montrer que U est scalairement essentiellement $\mu$-intégrable et que $\int U(t) d\mu(t) \in F$ (utiliser l’exercice 8 b)).