Exercice 11, § 3

Soient $K$ un espace compact métrisable, $\mu$ une mesure positive sur $K$, $f$ une application $\mu$-mesurable de $K$ dans un espace localement compact $T$, $\nu$ une mesure positive sur $T$; $I$ et $U$ ont la même signification que dans l’exerc. 10.

a) On suppose que, pour tout ensemble $\mu$-négligeable $N \subset K$, $f(N)$ soit $\nu$-négligeable. Alors $U$ est $\nu$-négligeable et, pour toute partie $\mu$-mesurable $A \subset K$, $f(A)$ est $\nu$-mesurable.

b) Pour que $I$ soit $\nu$-négligeable et que l’image par $f$ de tout ensemble $\mu$-négligeable soit $\nu$-négligeable, il faut et il suffit que $f$ satisfasse à la condition suivante : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que, pour toute partie $A \subset K$, $\mu$-mesurable et telle que $\mu(A) \leq \delta$, $f(A)$ soit $\nu$-mesurable et que l’on ait $\nu(f(A)) \leq \varepsilon$. (Pour voir que la condition est nécessaire, raisonner par l’absurde, en considérant une suite décroissante $(A_n)$ d’ensembles $\mu$-mesurables, dont l’intersection soit $\mu$-négligeable, mais tels que $\nu(f(A_n)) \geq \alpha > 0$; prendre alors l’intersection des $f(A_n)$ et de $\mathbf{C} I$.)