Bài tập 11, § 3

Cho $K$ là một không gian compact mêtric, $\mu$ là một độ đo dương trên $K$, $f$ là một ánh xạ $\mu$-đo được từ $K$ vào một không gian compact địa phương $T$, và $\nu$ là một độ đo dương trên $T$; I và $U$ có cùng ý nghĩa như trong Bài tập 10.

a) Giả sử rằng với mọi tập hợp $N \subset K$ $\mu$-không đáng kể, $f(N)$ là $\nu$-không đáng kể. Khi đó $U$ là $\nu$-không đáng kể và, với mọi tập con $\mu$-đo được $A \subset K$, $f(A)$ là $\nu$-đo được.

b) Để $I$ là $\nu$-không đáng kể và ảnh qua $f$ của mọi tập hợp $\mu$-không đáng kể là $\nu$-không đáng kể, điều kiện cần và đủ là $f$ thỏa mãn điều kiện sau: với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một $\delta > 0$ sao cho, với mọi tập con $A \subset K$ $\mu$-đo được và sao cho $\mu(A) \leq \delta$, $f(A)$ là $\nu$-đo được và $\nu(f(A)) \leq \varepsilon$. (Để thấy rằng điều kiện là cần, hãy lập luận bằng phản chứng, bằng cách xét một dãy giảm $(A_n)$ các tập hợp $\mu$-đo được mà giao của chúng là $\mu$-không đáng kể, nhưng sao cho $\nu(f(A_n)) \geq \alpha > 0$; sau đó lấy giao của các $f(A_n)$ và $\mathbf{C}I$.)