Exercice 12, § 3

Soient $E$ l’espace compact non métrisable obtenu en munissant l’intervalle $(-1, +1)$ de $\mathbf{R}$ de la topologie $\mathscr{C}$ définie dans l’exerc. 13 a) de Top. gén., chap. IX, 2e éd., § 2 ; soit $\varphi$ l’application $x \to |x|$ de $E$ sur $I = \{0, 1\}$ (muni de la topologie induite par celle de $\mathbf{R}$).

a) Montrer que $\varphi$ est continue et que, si on désigne par $\mathfrak{F}$ l’ensemble des parties de $E$ de la forme $\varphi^{-1}(A)$, où $A$ est une partie borélienne de $I$, les parties boréliennes de $E$ sont les parties $B$ telles qu’il existe $M \in \mathfrak{F}$ pour lequel $B \cap \mathbf{C} M$ et $M \cap \mathbf{C} B$ soient dénombrables (remarquer que tout ensemble ouvert de $E$ appartient à $\mathfrak{F}$).

b) Montrer que, pour qu’une fonction numérique $f$ définie dans $E$ soit continue (pour $\mathscr{C}$), il faut et il suffit qu’elle soit réglée et que, pour tout $x \in E$, on ait $f(x-) = f((-x)+)$. On définit donc une mesure positive $\mu$ sur $E$ en posant $\int f d\mu = \int_0^1 f(x) dx$. Montrer que l’image de $\mu$ par $\varphi$ est la mesure de Lebesgue sur $I$, et que les ensembles $\mu$-négligeables sont les parties négligeables pour la mesure de Lebesgue sur $(-1, +1)$.

c) Déduire de a) et b) qu’il n’existe pas de section $\mu$-mesurable pour la relation d’équivalence $\mu$-mesurable $\varphi(x) = \varphi(y)$ dans $E$.