Bài tập 12, § 3

Cho $E$ là không gian compact không mêtric thu được bằng cách trang bị khoảng $[ -1, +1 ]$ của $\mathbf{R}$ với tôpô $\mathscr{T}$ được định nghĩa trong Bài tập 13 a) của GT, IX, §2; cho $\varphi$ là ánh xạ $x \mapsto |x|$ từ $E$ lên $I = [0, 1]$ (được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô của $\mathbf{R}$).

a) Chứng minh rằng $\varphi$ là liên tục và rằng, ký hiệu $\mathscr{F}$ là tập hợp các tập con của $E$ có dạng $\varphi^{-1}(A)$, trong đó $A$ là một tập hợp Borel của $I$, các tập hợp Borel của $E$ là các tập hợp con $B$ sao cho tồn tại một $M \in \mathscr{F}$ mà $B \cap \mathbf{C}M$ và $M \cap \mathbf{C}B$ là đếm được (chú ý rằng mọi tập mở của $E$ đều thuộc về $\mathscr{F}$).

b) Chứng minh rằng để một hàm số $f$ xác định trên $E$ là liên tục (đối với $\mathscr{T}$), điều kiện cần và đủ là nó bị điều hòa và $f(x-) = f((-x)+)$ với mọi $x \in E$. Do đó, người ta định nghĩa một độ đo dương $\mu$ trên $E$ bằng cách đặt $\int f\, d\mu = \int_0^1 f(x)\, dx$. Chứng minh rằng ảnh của $\mu$ qua $\varphi$ là độ đo Lebesgue trên $I$, và các tập hợp $\mu$-không đáng kể là các tập hợp không đáng kể đối với độ đo Lebesgue trên $[ -1, +1 ]$.

c) Suy ra từ a) và b) rằng không tồn tại một tiết diện $\mu$-đo được cho quan hệ tương đương $\mu$-đo được $\varphi(x) = \varphi(y)$ trong $E$.