Exercice 6, § 3

Soient $T$ un espace localement compact polonais, $\mu$ une mesure positive sur $T$, $R$ une relation d’équivalence $\mu$-mesurable sur $T$, $p$ une application $\mu$-mesurable de $T$ dans un espace localement compact polonais $B$ tel que $p(x) = p(y)$ soit équivalente à $R \{x, y\}$, $v$ une mesure pseudo-image de $\mu$ par $p$, $b \to \lambda_b$ une désintégration de $\mu$ par $R$. Pour tout $b \in B$ tel que $\lambda_b \neq 0$, soit $C(b)$ la classe mod. $R$ qui porte $\lambda_b$; montrer que $\varphi_{C(b)} \cdot \mu$ est proportionnelle à $\lambda_b$. Donner un exemple où $\varphi_{C(b)} \cdot \mu = 0$ pour tout $b \in B$.