Exercice 9, § 1

On adopte les notations de la démonstration du th. 1 du n° 2. Soit $\beta$ l’unique mesure de Haar à gauche sur G telle que $\beta(f_0) = 1$. Montrer que, pour toute $f \in \mathscr{K}(G)$, $I_g(f)$ tend vers $\beta(f)$ suivant $\mathscr{B}$. (Soit $a$ une valeur d’adhérence de $g \to I_g(f)$ suivant $\mathscr{B}$. Il existe un ultra-filtre $\mathscr{U}$ plus fin que $\mathscr{B}$ tel que $I_g(f)$ tende vers $a$ suivant $\mathscr{U}$. D’autre part, $I_g(f)$ tend vers $\beta(f)$ suivant $\mathscr{U}$).