Exercice 12, § 2

a) Soient X un espace topologique, $f : X \to \mathbf{N}$ une fonction semi-continue supérieurement. Soient $X_0$ l’ensemble des points de X où $f$ est localement constante, et $Y_0 = X - X_0$. On définit par récurrence deux suites $(X_i)_{i \geq 0}$, $(Y_i)_{i \geq 0}$ de parties de X, de la manière suivante : $X_i$ est l’ensemble des points de $Y_{i-1}$ où $f|Y_{i-1}$ est localement constante, et $Y_i = Y_{i-1} - X_i$. Montrer que $X_i$ est une partie ouverte partout dense de $Y_{i-1}$, et que $\bigcap_i Y_i = \varnothing$. (Montrer que $f(x) > i$ en tout point de $Y_i$).

b) Soient X un ensemble, H un groupe opérant à droite dans X, $\pi$ l’application canonique de X sur $X/H$, $\mathfrak{A}$ (resp. $\mathfrak{B}$) l’ensemble des $A \subset X$ tels que $\pi|A : A \to X/H$ soit injectif (resp. surjectif). Soit $(V_1, V_2, \ldots)$ un recouvrement dénombrable de X par des éléments de $\mathfrak{A}$. Soit

Montrer que $F = \bigcup_{i \geq 0} V'_i \in \mathfrak{A} \cap \mathfrak{B}$.

c) Soient X un espace localement compact, H un groupe discret dénombrable opérant à droite dans X continûment et proprement, $\pi$ l’application canonique de X sur $X/H$, $\mu$ une mesure $\geq 0$ sur X. Montrer que, si les ensembles $V_i$ de b) sont quarrables (chap. IV, § 5, exerc. 13 d)), l’ensemble F de b) est un domaine fondamental quarrable.

d) On conserve les hypothèses de c), et on emploie les notations $H_x, n(x)$ du no 10. Un $x \in X$ est dit général s’il existe un voisinage V de x dans X tel que $H_y = H_x$ pour tout $y \in V$. Montrer que les points généraux de X sont ceux où la fonction n est localement constante. Montrer qu’un point général admet un voisinage ouvert appartenant à $\mathfrak{A}$ et quarrable (utiliser le chap. IV, § 5, exerc. 13 d)).

e) On conserve les hypothèses de c), et on suppose de plus X dénombrable à l’infini. Montrer que si $X - X_0$ est $\mu$-négligeable, il existe un domaine fondamental borélien et quarrable F. (Appliquer la construction de a) à la fonction n. Puis appliquer les résultats de c) et d) dans $X_0$. Raisonner de même dans chaque $X_i$.

f) Soit $U \in \mathfrak{B}$ un ensemble ouvert. Montrer qu’on peut imposer à l’ensemble F de e) les propriétés supplémentaires suivantes : 1) $F \subset U$; 2) pour toute partie compacte K de X, l’ensemble des $s \in H$ tels que Fs rencontre K est fini.