Bài tập 12, § 2

(a) Cho $X$ là một không gian tôpô, $f : X \to \mathbf{N}$ là một hàm nửa liên tục trên. Gọi $X_0$ là tập hợp các điểm của $X$ tại đó $f$ là hằng địa phương, và $Y_0 = X - X_0$. Định nghĩa đệ quy hai dãy $(X_i)_{i \geq 0}$, $(Y_i)_{i \geq 0}$ các tập con của $X$, theo cách sau: $X_i$ là tập hợp các điểm của $Y_{i-1}$ tại đó $f|Y_{i-1}$ là hằng địa phương, và $Y_i = Y_{i-1} - X_i$. Chứng minh rằng $X_i$ là một tập con mở trù mật của $Y_{i-1}$, và rằng $\bigcap_i Y_i = \varnothing$.

(Chứng minh rằng $f(x) > i$ tại mọi điểm của $Y_i$.)

b) Cho $X$ là một tập hợp, $H$ là một nhóm tác động bên phải trên $X$, $\pi$ là ánh xạ chính tắc của $X$ lên $X/H$, và $\mathscr{A}$ (tương ứng $\mathscr{B}$) là tập hợp các $A \subset X$ sao cho $\pi|A : A \to X/H$ là đơn ánh (tương ứng toàn ánh). Cho $(V_1, V_2, \ldots)$ là một phủ đếm được của $X$ bởi các phần tử của $\mathscr{A}$. Đặt

Chứng minh rằng $F = \bigcup_{i \geq 0} V'_i \in \mathscr{A} \cap \mathscr{B}$.

c) Cho $X$ là một không gian compact địa phương, $H$ là một nhóm rời rạc đếm được tác động bên phải trên $X$ một cách liên tục và đúng, $\pi$ là ánh xạ chính tắc của $X$ lên $X/H$, và $\mu$ là một độ đo $\geq 0$ trên $X$. Chứng minh rằng nếu các tập $V_i$ của b) là đo được (Ch. IV, §5, Exer. 17 d)), thì tập $F$ của b) là một miền cơ bản đo được.

d) Giữ các giả thiết của c), và sử dụng các ký hiệu $H_x, n(x)$ của No. 10. Một $x \in X$ được gọi là tổng quát nếu tồn tại một lân cận $V$ của $x$ trong $X$ sao cho $H_y = H_x$ với mọi $y \in V$. Chứng minh rằng các điểm tổng quát của $X$ là các điểm tại đó hàm $n$ là hằng địa phương. Chứng minh rằng một điểm tổng quát thừa nhận một lân cận mở thuộc $\mathscr{A}$ và đo được (sử dụng Ch. IV, §5, Exer. 17 d)).

e) Ta duy trì các giả thiết của c), và giả sử thêm rằng $X$ là đếm được tại vô cực. Chứng minh rằng nếu $X - X_0$ là $\mu$-không đáng kể, thì tồn tại một miền cơ bản $F$ là Borel và cầu phương được. (Áp dụng phép dựng của a) cho hàm $n$. Sau đó áp dụng các kết quả của c) và d) trong $X_0$. Lập luận tương tự trong mỗi $X_i$.)

f) Cho $U \in \mathscr{B}$ là một tập mở. Chứng minh rằng ta có thể áp đặt lên tập $F$ của e) các tính chất bổ sung sau: 1) $F \subset U$; 2) với mọi tập con compact $K$ của $X$, tập hợp các $s \in H$ sao cho $Fs$ giao với $K$ là hữu hạn.