Exercice 4, § 2

Soit $X$ un espace localement compact dans lequel un groupe localement compact $H$ opère à droite continûment et proprement. Soient $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur $H$, $\mu$ une mesure $\geqslant 0$ sur $X$. Soit $h$ une fonction continue $\geqslant 0$ sur $X$ telle que $h^b = 1$. Si $f$ est une fonction $\mu$-négligeable $\geqslant 0$ sur $X$, la fonction $(x, \xi) \to f(x)h(x\xi)$ est $(\mu \otimes \beta)$-négligeable sur $X \times H$. (Il existe des ensembles ouverts décroissants $\Omega_1, \Omega_2, \ldots$ tels que $\mu(\Omega_n)$ tende vers 0 et que $f$ soit nulle hors de $\Omega_1 \cap \Omega_2 \cap \ldots$). Montrer que $\int_{\Omega_n}^* \varphi_{\Omega_n}(x)h(x\xi)d\mu(x)d\beta(\xi) \leqslant \mu(\Omega_n)$, en observant que la fonction $(x, \xi) \to \varphi_{\Omega_n}(x)h(x\xi)$ est semi-continue inférieurement).