Bài tập 4, § 2

Cho $X$ là một không gian compact địa phương trong đó một nhóm compact địa phương $H$ tác động phải liên tục và đúng. Cho $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $H$, $\mu$ là một độ đo $\geqslant 0$ trên $X$. Cho $h$ là một hàm liên tục $\geqslant 0$ trên $X$ sao cho $h^b = 1$. Nếu $f$ là một hàm $\mu$-bỏ qua được $\geqslant 0$ trên $X$, hàm $(x, \xi) \mapsto f(x)h(x\xi)$ là $(\mu \otimes \beta)$-bỏ qua được trên $X \times H$. (Tồn tại các tập mở giảm $\Omega_1, \Omega_2, \ldots$ sao cho $\mu(\Omega_n)$ dần tới 0 và sao cho $f$ bằng không bên ngoài $\Omega_1 \cap \Omega_2 \cap \cdots$. Hãy chứng minh rằng $\int^* \varphi_{\Omega_n}(x)h(x\xi) d\mu(x)d\beta(\xi) \leqslant \mu(\Omega_n)$, bằng cách nhận thấy rằng hàm $(x, \xi) \mapsto \varphi_{\Omega_n}(x)h(x\xi)$ là nửa liên tục dưới.)