Exercice 7, § 2

a)** Soient $E$ un espace localement compact, $\Gamma$ un groupe localement compact opérant à gauche continûment dans $E$. On suppose que, pour tout $x \in E$, l’application $s \to s.x$ de $\Gamma$ dans $E$ est propre, et qu’il existe une mesure positive bornée non nulle $\mu$ sur $E$ invariante par $\Gamma$. Alors $\Gamma$ est compact. (Soit $(s_n)$ une suite de points de $\Gamma$. Soit $K$ une partie compacte de $E$ non $\mu$-négligeable. Montrer, en utilisant l’exerc. 17 du chap. IV, § 4, qu’il existe un $x_0 \in E$ tel que $s_n x_0 \in K$ pour une infinité de valeurs de $n$. En déduire que $(s_n)$ admet une valeur d’adhérence dans $\Gamma$. Appliquer alors l’exerc. 6 de Top. gén., chap. II, 3e éd., § 4).

b) Soient $G$ un groupe localement compact, $H$ et $K$ deux sous-groupes fermés de $G$. On suppose $G$ et $H$ unimodulaires et $G/H$ de mesure finie pour la mesure invariante par $G$. Montrer que, pour que $H$ et $K$ vérifient les conditions équivalentes de l’exerc. 11 c) de Top. gén., chap. III, 3e éd., § 4, il faut et il suffit que $K$ soit compact.