Bài tập 7, § 2

a) Cho $E$ là một không gian compact địa phương, $\Gamma$ là một nhóm compact địa phương tác động liên tục bên trái trong $E$. Giả sử rằng với mọi $x \in E$, ánh xạ $s \mapsto s \cdot x$ của $\Gamma$ vào $E$ là thực sự, và tồn tại một độ đo dương bị chặn khác không $\mu$ trên $E$ bất biến dưới $\Gamma$. Khi đó $\Gamma$ là compact. (Cho $(s_n)$ là một dãy các điểm của $\Gamma$. Cho $K$ là một tập con compact của $E$ không là không đáng kể đối với $\mu$. Chứng minh, sử dụng Bài tập 15 của Chương IV, §4, rằng tồn tại một $x_0 \in E$ sao cho $s_n x_0 \in K$ với vô hạn giá trị của $n$. Từ đó, suy ra rằng $(s_n)$ có một điểm tụ trong $\Gamma$. Sau đó áp dụng Bài tập 6 của GT, II, §4.)

b) Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $H$ và $K$ là hai nhóm con đóng của $G$. Giả sử rằng $G$ và $H$ là đơn môđula và rằng $G/H$ có độ đo hữu hạn đối với độ đo bất biến dưới $G$. Chứng minh rằng để $H$ và $K$ thỏa mãn các điều kiện tương đương của Bài tập 11 c) của GT, III, §4, điều kiện cần và đủ là $K$ compact.