Exercice 8, § 2

Soient $\mathfrak{G}$ un groupe localement compact, $G$ et $H$ deux sous-groupes fermés de $\mathfrak{G}$. On suppose que tout $s \in \mathfrak{G}$ se met d’une seule manière sous la forme $s = \xi x = y \eta$ ($\xi, \eta \in G, x, y \in H$), et que $\xi, x, y, \eta$ dépendent continûment de $s$. Tout $\xi \in G$ définit un homéomorphisme $\hat{\xi}$ de $H$ sur $H$ par $\xi x \in \hat{\xi}(x)G$ ($x \in H$). Tout $x \in H$ définit un homéomorphisme $\hat{x}$ de $G$ sur $G$ par $\xi x \in H \hat{x}(\xi)$ ($\xi \in G$). Soient $\mu, \alpha, \beta$ des mesures de Haar à gauche de $\mathfrak{G}, G, H$. Montrer que

(Soit $f \in \mathscr{K}(G)$. Exprimer que $\int f(u) d\mu(u)$, calculé à l’aide de (23), soit pour $X = G, Y = H$, soit pour $X = H, Y = G$, est invariant quand on fait subir à $f$ une translation à gauche par un élément de $G$ ou un élément de $H$).