Bài tập 8, § 2

Cho $\mathfrak{G}$ là một nhóm compact địa phương, $G$ và $H$ là hai nhóm con đóng của $\mathfrak{G}$. Giả sử rằng mọi $s \in \mathfrak{G}$ có thể được viết theo một và chỉ một cách dưới dạng $s = \xi x = y \eta$ $(\xi, \eta \in G,\ x, y \in H)$, và rằng $\xi, x, y, \eta$ phụ thuộc liên tục vào $s$. Mọi $\xi \in G$ xác định một tự đồng phôi $\widehat{\xi}$ của H lên H bởi $\xi x \in \widehat{\xi}(x)G\ (x \in H)$. Mọi $x \in H$ xác định một tự đồng phôi $\widehat{x}$ của G lên G bởi $\xi x \in H \widehat{x}(\xi)\ (\xi \in G)$. Cho $\mu, \alpha, \beta$ là các độ đo Haar trái trên $\mathfrak{G}, G, H$. Chứng minh rằng

(Cho $f \in \mathscr{K}(G)$. Hãy biểu diễn sự kiện rằng $\int f(u) d\mu(u)$, được tính nhờ (23), hoặc với $X = G,\ Y = H$, hoặc với $X = H,\ Y = G$, là bất biến khi $f$ chịu phép tịnh tiến trái bởi một phần tử của G hoặc một phần tử của H.)