Exercice 3, § 3

Soit X un espace localement compact dans lequel un groupe localement compact H opère à droite, continûment et proprement, par $(x, \xi) \to x\xi$ ($x \in X, \xi \in H$). Soit $\pi$ l’application canonique $X \to X/H$. Soit $\rho$ une représentation continue de H dans $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$. Montrer que, pour tout $b \in X/H$, il existe un voisinage U de b dans X/H et une application continue r de $\pi^{-1}(U)$ dans $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ telle que $r(x\xi) = r(x)\rho(\xi)$ quels que soient $x \in \pi^{-1}(U)$ et $\xi \in H$. (On peut supposer X/H compact. Soit f une fonction continue $\geqslant 0$ sur X, non identiquement nulle sur chaque orbite, et à support compact. Poser

$\beta$ désignant une mesure de Haar à gauche sur H. Montrer que, pour f et U bien choisis, on a $r(x) \in \mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ pour tout $x \in \pi^{-1}(U)$).