Bài tập 3, § 3

Cho X là một không gian compact địa phương trong đó một nhóm compact địa phương H tác động bên phải, liên tục và chính quy, bởi $(x, \xi) \mapsto x\xi$ ($x \in X, \xi \in H$). Cho $\pi$ là ánh xạ chính tắc $X \to X/H$. Cho $\rho$ là một biểu diễn liên tục của H trong $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$. Chứng minh rằng với mọi $b \in X/H$, tồn tại một lân cận U của b trong X/H và một ánh xạ liên tục r của $\overline{\pi}(U)$ vào $\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ sao cho $r(x\xi) = r(x)\rho(\xi)$ với mọi $x \in \overline{\pi}(U)$ và $\xi \in H$. (Có thể giả sử X/H là compact. Cho f là một hàm liên tục $\geqslant 0$ trên X, không đồng nhất bằng không trên bất kỳ quỹ đạo nào, và có giá compact. Đặt

trong đó $\beta$ ký hiệu một độ đo Haar trái trên H. Chứng minh rằng, với f và U được chọn thích hợp, $r(x) \in \mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ với mọi $x \in \overline{\pi}(U)$.