Exercice 2, § 1

Soient $G$ un groupe localement compact et $\Gamma$ l’espace compact obtenu par adjonction à $G$ d’un point à l’infini $\omega$. On prolonge la loi de composition de $G$ à $\Gamma$ en posant $x \omega = \omega x = \omega$ pour tout $x \in \Gamma$. À toute mesure $\mu$ sur $\Gamma$ correspond, d’une part une mesure bornée $\mu_1$ sur $G$, d’autre part le nombre complexe $\mu(\{\omega\})$. Montrer que, si on désigne par $*$ (resp. $\widehat{*}$) la convolution définie par la multiplication dans $G$ (resp. $\Gamma$), on a $(\mu \widehat{*} \nu)_1 = \mu_1 * \nu_1$ et

quelles que soient les mesures $\mu$ et $\nu$ sur $\Gamma$.