Exercice 1, § 2

Soit $(G_t)_{t \in I}$ une famille de groupes localement compacts, tous compacts sauf un nombre fini. Soit $U_t$ une représentation linéaire continue de $G_t$ dans un espace localement convexe $E_t$. Pour tout $s = (s_t) \in G = \prod_t G_t$, soit $U(s)$ l’endomorphisme $(x_t) \to (U_t(s)x_t)$ de $E = \prod_t E_t$. Montrer que $U$ est une représentation linéaire continue de $G$ dans $E$. Soit $E'$ la somme directe topologique des $E_t$. Soit $V(s)$ la restriction de $U(s)$ à $E'$. Montrer que $V$ est une représentation linéaire continue de $G$ dans $E'$.