Bài tập 1, § 2

Cho $(G_\ell)_{\ell \in I}$ là một họ các nhóm compact địa phương, tất cả trừ hữu hạn số chúng là compact. Cho $U_\ell$ là một biểu diễn tuyến tính liên tục của $G_\ell$ trong một không gian lồi địa phương $E_\ell$. Với mọi $s = (s_\ell) \in G = \prod_\ell G_\ell$, gọi $U(s)$ là tự đồng cấu $(x_\ell) \mapsto (U_\ell(s)x_\ell)$ của $E = \prod_\ell E_\ell$. Chứng minh rằng $U$ là một biểu diễn tuyến tính liên tục của $G$ trong $E$. Gọi $E'$ là tổng trực tiếp tôpô của các $E_\ell$. Gọi $V(s)$ là hạn chế của $U(s)$ vào $E'$. Chứng minh rằng $V$ là một biểu diễn tuyến tính liên tục của $G$ trong $E'$.

$^1$ Bản dịch của saillant (TVS, II, §2, No. 4).