Exercice 2, § 2

Soit $U_1$ (resp. $U_2$) une représentation linéaire continue d’un groupe localement compact $G$ (resp. $H$) dans un espace localement convexe $E$ (resp. $F$). Pour $u \in \mathscr{L}(E; F)$, $x \in G$, $y \in H$, posons

Montrer que l’application $(x, y) \to V(x, y)$ est une représentation linéaire continue du groupe $G^0 \times H$ dans l’espace $\mathscr{L}(E; F)$ muni de la topologie de la convergence compacte. (Utiliser la prop. 9 d’Esp. vect. top., chap. III, § 4, n° 4, et le fait que, pour K compact dans G, $U_1(K)$ est équicontinu).