Bài tập 2, § 2

Cho $U_1$ (tương ứng $U_2$) là một biểu diễn tuyến tính liên tục của một nhóm compact địa phương $G$ (tương ứng $H$) trong một không gian lồi địa phương $E$ (tương ứng $F$). Với $u \in \mathscr{L}(E; F)$, $x \in G$, $y \in H$, đặt

Chứng minh rằng ánh xạ $(x, y) \mapsto V(x, y)$ là một biểu diễn tuyến tính liên tục của nhóm $G^0 \times H$ trong không gian $\mathscr{L}(E; F)$ được trang bị tôpô hội tụ compact. (Dùng Mệnh đề 9 của TVS, III, §4, No. 4 và sự kiện rằng, với $K$ compact trong $G$, $U_1(K)$ là cân bằng liên tục.)