Exercice 5, § 2

Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe fermé de G, U une représentation linéaire continue de H dans un espace localement convexe E. Soit K une partie compacte de G. Soit $\mathscr{K}^U(K)$ l’espace des fonctions continues sur G, à valeurs dans E, à support contenu dans KH, et satisfaisant à $f(xh) = U(h)^{-1}f(x)$ ($x \in G,\ h \in H$). Soit $\mathscr{K}^U$ la réunion des $\mathscr{K}^U(K)$, muni de la topologie limite inductive des topologies de la convergence uniforme dans K sur chacun des espaces $\mathscr{K}^U(K)$. Pour $f \in \mathscr{K}^U$ et $s \in G$, on définit $V(s)f \in \mathscr{K}^U$ par

Montrer que V est une représentation linéaire continue de G dans $\mathscr{K}^U$.