Bài tập 5, § 2

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $H$ một nhóm con đóng của $G$, và $U$ một biểu diễn tuyến tính liên tục của $H$ trong một không gian lồi địa phương $E$. Cho $K$ là một tập con compact của $G$. Cho $\mathscr{K}^U(K)$ là không gian các hàm liên tục trên $G$, nhận giá trị trong $E$, có giá được chứa trong $KH$, và thỏa mãn $f(xh) = U(h)^{-1}f(x)$ ($x \in G, h \in H$). Cho $\mathscr{K}^U$ là hợp của các $\mathscr{K}^U(K)$, được trang bị tôpô giới hạn trực tiếp của các tôpô hội tụ đều trong $K$ trên mỗi không gian $\mathscr{K}^U(K)$. Với $f \in \mathscr{K}^U$ và $s \in G$, định nghĩa $V(s)f \in \mathscr{K}^U$ bởi

Chứng minh rằng $V$ là một biểu diễn tuyến tính liên tục của $G$ trong $\mathscr{K}^U$.