Exercice 8, § 2

Soient G un groupe commutatif localement compact, $\mu$ une mesure de Haar sur G, $f$ une fonction numérique finie et $\mu$-mesurable dans G. On suppose que, pour tout $s \in G$, la fonction numérique

soit continue dans G. Montrer que $f$ est alors continue. (Raisonner par l’absurde; supposant la fonction $f$ non continue en un point $x_0 \in G$, montrer d’abord qu’il existe sur G un filtre $\mathfrak{F}$ de limite $e$ tel que et en déduire que pour tout $x \in G$, on a aussi $\lim_{\mathfrak{F}, s} |f(sx)| = +\infty$. Si $g = |f|/(1 + |f|)$, déduire du dernier résultat une contradiction avec le fait que pour tout compact $K \subset G$, on a