Bài tập 8, § 2

Cho G là một nhóm Abel compact địa phương, $\mu$ là một độ đo Haar trên G, $f$ là một hàm số hữu hạn đo được theo $\mu$ trên G. Giả sử rằng với mọi $s \in G$, hàm số

là liên tục trên G. Chứng minh rằng khi đó $f$ là liên tục. (Lập luận bằng phản chứng; giả sử rằng hàm $f$ không liên tục tại một điểm $x_0 \in G$, trước hết chứng minh rằng tồn tại trên G một bộ lọc $\mathfrak{F}$ có giới hạn $e$ sao cho và suy ra từ điều này rằng cũng có $\lim_{\mathfrak{F}, s} |f(sx)| = +\infty$ với mọi $x \in G$. Nếu $g = |f|/(1 + |f|)$, suy ra từ kết quả cuối cùng một mâu thuẫn với sự kiện rằng với mọi tập con compact $K \subset G$,