Exercice 13, § 3

Soit $r$ un nombre tel que $0 < r < 1$; pour tout entier $n \geq 1$, on désigne par $\lambda_{n,r}$ la mesure $(\varepsilon_{r^n} + \varepsilon_{-r^n})/2$ sur $\mathbf{R}$, et l'on pose $\mu_{n,r} = \lambda_{1,r} * \lambda_{2,r} * \ldots * \lambda_{n,r}$.

a) Montrer que la suite $(\mu_{n,r})$ converge vaguement vers une mesure $\mu_r$ sur $\mathbf{R}$, de support contenu dans $I = (-1, +1)$ (prouver que pour tout intervalle $U$ contenu dans $\mathbf{R}$, la suite $(\mu_{n,r}(U))$ est convergente).

b) Montrer que pour $r < 1/2$, la mesure $\mu_r$ est étrangère à la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$, mais que $\mu_{1/2}$ est la mesure induite sur $I$ par la mesure de Lebesgue.

c) Soit $\nu_{1/4}$ l'image de $\mu_{1/4}$ par l'homothétie $t \to 2t$ dans $\mathbf{R}$. Montrer que l'on a $\mu_{1/4} * \nu_{1/4} = \mu_{1/2}$, bien que $\mu_{1/4}$ et $\nu_{1/4}$ soient toutes deux étrangères à la mesure de Lebesgue (utiliser l'exerc. 11 a)).