Bài tập 13, § 3

Cho $r$ là một số sao cho $0 < r < 1$; với mỗi số nguyên $n \geq 1$, ký hiệu $\lambda_{n,r}$ là độ đo $(\varepsilon_{r^n} + \varepsilon_{-r^n})/2$ trên $\mathbf{R}$, và đặt $\mu_{n,r} = \lambda_{1,r} * \lambda_{2,r} * \cdots * \lambda_{n,r}$.

a) Chứng minh rằng dãy $(\mu_{n,r})$ hội tụ mơ hồ đến một độ đo $\mu_r$ trên $\mathbf{R}$, với giá đỡ được chứa trong $I = [-1, +1]$ (chứng minh rằng với mọi khoảng U của $\mathbf{R}$, dãy $(\mu_{n,r}(U))$ là hội tụ).

b) Chứng minh rằng đối với $r < 1/2$, độ đo $\mu_r$ là xa lạ với độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$, nhưng $\mu_{1/2}$ là độ đo cảm sinh trên I bởi độ đo Lebesgue.

c) Cho $\nu_{1/4}$ là ảnh của $\mu_{1/4}$ qua phép vị tự $t \mapsto 2t$ trong $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng $\mu_{1/4} * \nu_{1/4} = \mu_{1/2}$, mặc dù $\mu_{1/4}$ và $\nu_{1/4}$ đều xa lạ với độ đo Lebesgue (sử dụng Exer. 11 a)).