Exercice 2, § 3

Soit X un espace localement compact dans lequel un groupe localement compact G opère à gauche continûment. Soit E un sous-espace vectoriel de $\mathscr{M}(X)$, stable pour les $\gamma(s)$ ($s \in G$), muni d'une topologie localement convexe quasi-complète plus fine que la topologie de la convergence compacte sur $\mathscr{K}(X)$. Pour tout $s \in G$, soit $\gamma_E(s)$ la restriction de $\gamma(s)$ à E. On suppose que $\mu \in E$ entraîne $|\mu| \in E$, et que la représentation $\gamma_E$ de G dans E est équicontinue. Alors, si $\mu \in E$ et $\nu \in \mathscr{M}^1(G)$, $\nu$ et $\mu$ sont convolables et $\nu * \mu = \gamma_E(\nu)\mu \in E$. (Utiliser notamment la prop. 17 du chap. VI, § 1, n° 7).