Exercice 3, § 3

Pour $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbf{R}^n$, on pose $|x|^2 = x_1^2 + \ldots + x_n^2$. Soit $\mathscr{M}_1$ l'ensemble des mesures $\mu$ sur $\mathbf{R}^n$ pour lesquelles il existe un nombre réel $k$ tel que la fonction $(1 + |x|^2)^k$ soit $\mu$-intégrable. Soit $\mathscr{M}_2$ l'ensemble des mesures $\nu$ sur $\mathbf{R}^n$ pour lesquelles la fonction $(1 + |x|^2)^k$ est $\nu$-intégrable quel que soit $k$. Montrer que si $\mu \in \mathscr{M}_1$ et $\nu \in \mathscr{M}_2$, $\mu$ et $\nu$ sont convolables, et $\mu * \nu \in \mathscr{M}_1$; si $\mu \in \mathscr{M}_2$ et $\nu \in \mathscr{M}_2$, alors $\mu * \nu \in \mathscr{M}_2$. (On montrera d'abord que, si $u \geq 0, v \geq 0$, on a

on en déduira que, quels que soient $x, y$ dans $\mathbf{R}^n$, on a

Soient alors $\mu \in \mathscr{M}_1, \nu \in \mathscr{M}_2$ avec $\mu \geq 0, \nu \geq 0$. Soit $f$ une fonction continue $\geq 0$ dans $\mathbf{R}^n$. Il existe un $k$ tel que $\mu = (1 + |x|^2)^k \cdot \mu_1$ avec $\mu_1$ bornée ; soit $\nu_1 = (1 + |x|^2)^k \cdot \nu$, qui est bornée. On a

D'où la convolabilité de $\mu$ et $\nu$ et le fait que $\mu * \nu \in \mathscr{M}_1$.

Raisonner de façon analogue pour $\mu, \nu$ dans $\mathscr{M}_2$.