Bài tập 3, § 3

Với $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbf{R}^n$ ta đặt $|x|^2 = x_1^2 + \cdots + x_n^2$. Gọi $\mathscr{M}_1$ là tập hợp các độ đo $\mu$ trên $\mathbf{R}^n$ sao cho tồn tại một số thực $k$ mà hàm $(1 + |x|^2)^k$ là $\mu$-khả tích. Gọi $\mathscr{M}_2$ là tập hợp các độ đo $\nu$ trên $\mathbf{R}^n$ sao cho hàm $(1 + |x|^2)^k$ là $\nu$-khả tích với mọi $k$. Chứng minh rằng nếu $\mu \in \mathscr{M}_1$ và $\nu \in \mathscr{M}_2$, thì $\mu$ và $\nu$ có thể tích chập được, và $\mu * \nu \in \mathscr{M}_1$; nếu $\mu \in \mathscr{M}_2$ và $\nu \in \mathscr{M}_2$, thì $\mu * \nu \in \mathscr{M}_2$. (Trước hết chứng minh rằng nếu $u \geq 0,\ v \geq 0$, thì

từ đó suy ra rằng với mọi $x, y$ trong $\mathbf{R}^n$,

Sau đó lấy $\mu \in \mathscr{M}_1,\ \nu \in \mathscr{M}_2$ với $\mu \geq 0,\ \nu \geq 0$. Gọi $f$ là một hàm liên tục $\geq 0$ trên $\mathbf{R}^n$. Tồn tại một $k$ sao cho $\mu = (1 + |x|^2)^k \cdot \mu_1$ với $\mu_1$ bị chặn; đặt $\nu_1 = (1 + |x|^2)^k \cdot \nu$, khi đó bị chặn. Khi đó

Do đó $\mu$ và $\nu$ có thể tích chập được và $\mu * \nu \in \mathscr{M}_1$. Lập luận tương tự đối với $\mu, \nu$ trong $\mathscr{M}_2$.