Exercice 5, § 3

Soient G un groupe compact, et $\mu$ une mesure positive sur G, de support G, telle que $\mu * \mu = \mu$. Montrer que $\mu$ est la mesure de Haar normalisée de G. (Montrer d'abord que $\| \mu \| = 1$. Puis, si $\mu$ n'est pas mesure de Haar de G, il existe une fonction $f \in \mathscr{K}_+(G)$ telle que

pour tout $t \in G$, et telle que $\int f(s)d\mu(s) > \int f(st)d\mu(s)$ pour certains $t$.

Montrer qu'alors $(\mu * \mu)(f) > \mu(f))$.