Bài tập 5, § 3

Cho $G$ là một nhóm compact, và $\mu$ là một độ đo dương trên $G$, có giá đỡ là $G$, sao cho $\mu * \mu = \mu$. Chứng minh rằng $\mu$ là độ đo Haar chuẩn hóa của $G$. (Trước hết chứng minh rằng $\| \mu \| = 1$. Sau đó, nếu $\mu$ không phải là độ đo Haar của $G$, thì tồn tại một hàm $f \in \mathscr{K}_+(G)$ sao cho

với mọi $t \in G$, và sao cho $\int f(s)\ d\mu(s) > \int f(st)\ d\mu(s)$ với một $t$ nào đó. Chứng minh rằng khi đó ta có $(\mu * \mu)(f) > \mu(f)$.