Exercice 6, § 3

a) Soit $I = [0, 1]$. Soit $f$ une fonction $\geq 0$ continue dans $\mathbf{R}$, à support contenu dans $[-1, 0]$. Montrer que l’ensemble des fonctions $\gamma(s)f|I$ ($s \in I$) est de rang infini dans $\mathscr{K}(I)$.

b) Soient $f_1, \ldots, f_n$ dans $\mathscr{K}(\mathbf{R})$. Soit $M$ l’ensemble des mesures $\mu \in \mathscr{M}(I)$ telles que $\mu(f_1) = \ldots = \mu(f_n) = 0$. Montrer que l’ensemble des fonctions $y \to \int f(x + y)d\mu(x)$ ($y \in I$), où $\mu$ parcourt $M$, est de rang infini dans $\mathscr{K}(I)$. (Utiliser a).)

c) Soient $g_1, \ldots, g_p$ dans $\mathscr{K}(\mathbf{R})$. Déduire de b) qu’il existe $\mu \in M$ et $v \in \mathscr{M}(I)$ telles que $v(g_1) = \ldots = v(g_p) = 0$, $(v * \mu)(f) \neq 0$.

d) Déduire de c) que l’application $(\mu, v) \to v * \mu$ de $\mathscr{M}(\mathbf{T}) \times \mathscr{M}(\mathbf{T})$ dans $\mathscr{M}(\mathbf{T})$ n’est pas vaguement continue.