Bài tập 6, § 3

a) Cho $I = [0, 1]$. Cho $f$ là một hàm liên tục $\geq 0$ trên $\mathbf{R}$, với giá đỡ được chứa trong $[-1, 0]$. Chứng minh rằng tập hợp các hàm $\gamma(s)f|I\ (s \in I)$ có hạng vô hạn trong $\mathscr{K}(I)$.

b) Cho $f_1, \ldots, f_n$ thuộc $\mathscr{K}(\mathbf{R})$. Cho $M$ là tập hợp các độ đo $\mu \in \mathscr{M}(I)$ sao cho $\mu(f_1) = \ldots = \mu(f_n) = 0$. Chứng minh rằng tập hợp các hàm $y \mapsto \int f(x + y)\ d\mu(x)\ (y \in I)$, trong đó $\mu$ chạy qua $M$, có hạng vô hạn trong $\mathscr{K}(I)$. (Sử dụng a.)

c) Cho $g_1, \ldots, g_p$ thuộc $\mathscr{K}(\mathbf{R})$. Suy ra từ b) rằng tồn tại $\mu \in M$ và $\nu \in \mathscr{M}(I)$ sao cho $\nu(g_1) = \ldots = \nu(g_p) = 0$, $(\nu * \mu)(f) \neq 0$.

d) Suy ra từ c) rằng ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \nu * \mu$ từ $\mathscr{M}(T) \times \mathscr{M}(T)$ vào $\mathscr{M}(T)$ không liên tục theo tôpô yếu.