Exercice 9, § 3

a) Soient $G$ un groupe localement compact, $B$ une partie bornée de $\mathscr{M}(G)$, $C$ une partie équicontinue de $\mathscr{C}'(G)$; montrer que si l’on munit $\mathscr{C}'(G)$ de la topologie faible $\sigma(\mathscr{C}'(G), \mathscr{C}(G))$ et $\mathscr{M}(G)$ de la topologie vague $\sigma(\mathscr{M}(G), \mathscr{K}(G))$, l’application $(\mu, v) \to \mu * v$ de $B \times C$ dans $\mathscr{M}(G)$ est continue. (Remarquer que toutes les mesures $v \in C$ ont leur support dans un même ensemble compact et utiliser la prop. 4 du chap. III, § 5, no 3.)

b) Si, dans $\mathscr{M}^1(\mathbf{R})$, on pose $\mu_n = \varepsilon_n$, $v_n = \varepsilon_{-n}$, les suites $(\mu_n)$ et $(v_n)$ tendent vers 0 pour la topologie faible $\sigma(\mathscr{M}^1(\mathbf{R}), \mathscr{K}(\mathbf{R}))$, mais la suite $(\mu_n * v_n)$ ne tend pas vers 0 pour la topologie vague.