Bài tập 9, § 3

(a) Cho G là một nhóm compact địa phương, B là một tập con bị chặn của $\mathscr{M}(G)$, C là một tập con đẳng liên tục của $\mathscr{C}'(G)$; hãy chứng minh rằng nếu $\mathscr{C}'(G)$ được trang bị tôpô yếu $\sigma(\mathscr{C}'(G), \mathscr{C}(G))$, và $\mathscr{M}(G)$ với tôpô mơ hồ $\sigma(\mathscr{M}(G), \mathscr{K}(G))$, thì ánh xạ $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$ từ $B \times C$ vào $\mathscr{M}(G)$ là liên tục. (Chú ý rằng tất cả các độ đo $\nu \in C$ đều có giá trong một tập compact chung, và sử dụng Ch. III, §4, No. 3, các nhận xét sau Mệnh đề 6.)

(b) Nếu, trong $\mathscr{M}^1(\mathbf{R})$, ta đặt $\mu_n = \varepsilon_n$, $\nu_n = \overline{\varepsilon_{-n}}$, các dãy $(\mu_n)$ và $(\nu_n)$ hội tụ mơ hồ về 0 đối với tôpô yếu $\sigma(\mathscr{M}^1(\mathbf{R}), \mathscr{K}(\mathbf{R}))$, nhưng dãy $(\mu_n * \nu_n)$ không hội tụ về 0 đối với tôpô mơ hồ.