Exercice 1, § 4

Soient $G$ un groupe localement compact, $\beta$ une mesure de Haar à gauche sur $G$, $A$ une partie $\beta$-mesurable de $G$, $\nu$ une mesure positive non nulle sur $G$. On suppose que $sA$ est localement $\nu$-négligeable pour tout $s \in G$. Montrer que $A$ est localement $\beta$-négligeable. (Se ramener au cas où $A$ est relativement compact et $\nu$ bornée. Prouver que $\nu$ et $\varphi_A \cdot \beta$ sont convolables et que $\nu * \beta \varphi_A = 0$, d'où $0 = \| \nu * \varphi_A \cdot \beta \| = \| \nu \| \cdot \| \varphi_A \cdot \beta \|$). Montrer, en admettant l'hypothèse du continu, que ce résultat peut être en défaut si $A$ n'est pas supposé $\beta$-mesurable. (Prendre $G = \mathbf{R}^2$, prendre pour $\nu$ la mesure de Haar du sous-groupe $\mathbf{R} \times \{0\}$, et appliquer l'exerc. 7 c) du chap. V, § 8).