Bài tập 1, § 4

Cho G là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên G, A là một tập con $\beta$-đo được của G, và $\nu$ là một độ đo dương khác không trên G. Giả sử rằng sA là địa phương $\nu$-không đáng kể với mọi $s \in G$. Chứng minh rằng A là địa phương $\beta$-không đáng kể. (Rút gọn về trường hợp A tương đối compact và $\nu$ bị chặn. Chứng minh rằng $\nu$ và $\varphi_A \cdot \beta$ là tích chập được và rằng $\nu * \beta \varphi_A = 0$, do đó $0 = \| \nu * \varphi_A \cdot \beta \| = \| \nu \| \cdot \| \varphi_A \cdot \beta \|$.) Chứng minh, khi thừa nhận giả thiết continuum, rằng kết quả này có thể không còn đúng nếu không giả sử A là $\beta$-đo được. (Lấy $G = \mathbf{R}^2$, lấy cho $\nu$ độ đo Haar trên nhóm con $\mathbf{R} \times \{0\}$, và áp dụng Exer. 7 c) của Ch. V, §8.)