Exercice 10, § 4

Soient G un groupe localement compact, β une mesure de Haar à gauche sur G. Quels que soient les ensembles β-intégrables A, B, on pose $\rho(A, B) = \beta(A \cup B) - \beta(A \cap B)$. a) Soit A un ensemble β-intégrable. Montrer que $x \to \rho(xA, A)$ est une fonction continue. b) Soit U un voisinage de e. Montrer qu’il existe un ensemble compact A et un nombre $\varepsilon > 0$ tels que $\rho(xA, A) < \varepsilon$ implique $x \in U$. (Prendre pour A un voisinage de e tel que $A.A^{-1} \subset U$.) c) Pour qu’une partie C de G soit relativement compacte, il faut et il suffit qu’il existe un ensemble β-intégrable A et un nombre a ($0 < a < 2\beta(A)$) tels que $x \in C$ implique $\rho(xA, A) \leq a$.