Bài tập 10, § 4

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, $\beta$ là một độ đo Haar trái trên $G$. Với hai tập hợp $\beta$-khả tích bất kỳ $A, B$, đặt $\rho(A, B) = \beta(A \cup B) - \beta(A \cap B)$. a) Cho $A$ là một tập hợp $\beta$-khả tích. Chứng minh rằng $x \mapsto \rho(xA, A)$ là một hàm liên tục. b) Cho $U$ là một lân cận của $e$. Chứng minh rằng tồn tại một tập compact $A$ và một số $\varepsilon > 0$ sao cho $\rho(xA, A) < \varepsilon$ kéo theo $x \in U$. (Lấy $A$ là một lân cận của $e$ sao cho $A \cdot A^{-1} \subset U .$) c) Để một tập con $C$ của $G$ là compact tương đối, điều kiện cần và đủ là tồn tại một tập hợp $\beta$-khả tích $A$ và một số $a$ ($0 < a < 2\beta(A)$) sao cho $x \in C$ kéo theo $\rho(xA, A) \leq a$.